[142v] denominatur ab aliquo numero ut medietas proportionis duple.

Quantitates commutantes, commensurabiles seu rationales sunt, quarum una est mensura communis quodlibet istarum primo mensurans, sicut bipedalis, tripedalis, quorum utraque pedali mensurantur.

Quantitates non communtantes incommensurabiles seu irrationales sunt, quibus non est una ratio communis qualibet illarum prius mensurans sicut diameter et costa quadrati.

Unde diametres quadrati est linea quadrati protacta de uno angelo ad alium angelum[1] illi oppositum.

Quadratum est una figura cuius omnes coste sunt equales que est proportio equalitatis contra medietatis. Proportio equalitatis est duarum quantum equalium ad invicem habendo, ut 4 ad 4. Proportio inequalitatis est duarum quantum melium ad invicem habendo ut 4 ad 2.

Proportio inequalitatis dicitur duobus modis, que maioris inequalitatis, que minoris inequalitatis. Proportio maioris inequalitatis est quando maius comparatur ad minus ut 4 ad 2. Proportio minoris inequalitatis quando minus comparatur ad maius ut 2 ad 4. Proportio maioris inequalitatis dicitur quinque modis. Multiplex supertertiens, superpartiens, multiplex superpartiens, multiplex superciens. Multiplex vero proportio est habitudo maioris quantitatis ad minore ipsa multotiens continentem, ut 4 ad 2, vel 6 ad 2[2]. Supertertiens est quando maius continet minus et aliquam partem aliquotam ultra ut 3 ad 2, vel 5 ad 4. Superpartiens est quando maius continet minus et aliquas partes aliquotas ultra ex quibus non sit una pars aliquota respectu minoris numeri vel quantitatis, ut 5 ad 2 vel 9 ad 7. Multiplex superpartiens quando maius multotiens continet minus et aliqua eius partem aliquotam utlra, ut 9 ad 4 vel 7 ad 3. 2 sunt pars aliquota respectu 6, sed 2. non sunt pars aliquota respectu 5. Pars aliquota est que aliquotiens sumpta reddit equaliter suum totum. Pars non aliquota est que multotiens non reddit equaliter suum totum. Multiplex suppositioris est quando maius multotiens continet minus et aliquas partes aliquotas ultra ex quibus non sit una pars aliquota respectu minoris quantitatis, ut ii ad 3 vel 13 ad 5.

Pro denominatione proportionum est sciendum quod proportio rla, quando antecedens minoris continet consequens 3la, quando ter 4la quando quinta, et in sic in infinitum.

Antecedens est primus terminus proportionis et consequens secundus. Sesterqualria proportio est quando maius semel continet minus et eius medietatem ultra ut 3 ad 2 2la, sesterquor altera est quando maius minoris continet minus et eius medietatem ultra ut 5 ad 2, et sic in infinitum ascendendo. Sesquertertia est quando maius semel continet minus et eius tertiam partem ultra ut 4 ad 3 2la sequentia est quando maius minoris continet minus et eius tertiam partem ultra ut 7 ad 3, et sic in infinitum ascendendo. Et omnes ille proportiones sunt in specie suppositionis.

Que est differentia inter proportionem et proportionalitatem? Unde proportion dicitur duobus modis, unde dictum est proportionalitas est ordo proportionum, et dicitur tribus modis: proportionalitas arithmetica, geometrica et armonica. Arithmetica est quando sunt multi termini et equalis excessus inter primum et secundum, sicut inter secundum et tertium, et ceteris excessum, ut 6.5.4. Geometrica est quando sunt multi termini et equalis est proportio inter 1. et 2., sicut inter 2. et 3, et ceteris excessum 8.4.2.1. Armonica est quando sunt tertius termini et equalis est proportio inter 1. et 2., sicut excessus inter 1. et 2. Se habet ad excessum inter 2. et 3. excessum 6.8.3.

Permanenti proportionalia sunt quando sicut se habet antecedens minus ad antecedens alterius, sicut se habet consequens unius ad consequens alterius ut 8.4.2.1. Eque proportionalitas est quando sicut duo minimi* in utroque sicut tertius termini et sicut se habet primus terminus primi numeri ad suum secundum, sicut se habet primus terminus secundi numeri ad suum secundum, et sicut se habet primus terminus primi numeri ad suum tertium, sicut se habet primus terminus secundi numero ad suum tertium, ut 8.4.2 et 4.2.1.

Et tantum de proportionibus.

Nota de transitu virtutum

Sancti a terrenis actibus ad spiritualia transeunt ut ad ea que relinquerunt, ulterius nullatenus reflectantur quasi enim per quandam viam incedere eis est mente ire semper ad meliora. Ergo* contra de reprobis dicitur: Quia reversi sunt corde in Egiptum. Unumquodque ante faciem suam gradiebatur. Ante nos enim eterna sunt, post nos temporalia, quia et illa pergentes invenimus, et ista recedentes quasi post dorsum relinquimus. Unde et magnum illud pennatum animal dicebat quod usque ad tertii celi secreta volaverat. Unum vero, que retro oblitus, in ea que sunt ante extendens me, sequor ad palmam superne vocationis. Verba sunt beati Gregorii Super Ezechielem Omelia secunda ante finem paucum.

Augustinus[3] 7 De civitate Dei capitulo 14: Ambulantes tendimus ad ipsum qui factus est nobis via temporalis per humanitatem, que mansio nobis eterna est per divinitatem. Lev. 26. Si in preceptis meis ambulaveritis, etc., quasi dicens, non sufficit homini stare in preceptis divinis, sed ambulare et proficere ad maiorem perfectionem propter quod Genesis[4] 15: Dixit Dominus Abrahe: Ego Dominus omnipotens ambula coram me et esto perfectus. Quomodo autem perficere poterimus in ambulando? Docet Augustinus sermone 9. Dicit Salvator: Ego sum via, Johannes 14. Habes, inquit, viam, ambula, sollicite doma iumentum tuum, carnem tuam; ipsi enim insidet anima tua. Non enim ad Deum passibus, sed affectibus ambulamus. Augustinus.

Nota de ambulantibus ad patriam[5]

Ambulare[6] cupientes ad patriam septem debent habere necessaria sibi ad similitudinem ambulationis corporalis.

Primo lumen ut via et patria quoquo modo cognoscatur quod habetur per fidem. Johannes 14: Si quis ambulaverit in die, non offendit quia lumen huius mundi videt. Johannes 6: Ambulate dum lucem habetis. 2 Cor 5: Per fidem ambulamus et non per speciem. E contra de infidelibus dicitur: Nescierunt neque intellexerunt. Ps 82.[7].

Secundo confidentia ut ad patriam veniamur que habetur per spem. Isaias: Qui sperant in Domino, mutabunt fortitudinem. Non sic ambulavit Iudas, ideo potuit dicere: In via hac qua ambulabam.

Tertio amor patrie quod habetur per caritatem. Iohannes: Maiorem non habeo gratiam quam ut audiam filios meos in veritate ambulare. Eph. 4: Rectitudo vie ne ab ea deviet quod habetur per prudentiam. Prov.: Relinquite infantiam et in veritate ambulate per vias prudentie.

Quarto[8] sobrietas sive parsimonia, ne viator gravetur quod habetur per temperantiam. Gal.: Spiritu ambulemus, et desideria carnis. Gal. 5. Ps.: Ambulans in via in maculis.

Sexto vigor persone ne in via deficiat, quod habetur per fortitudinem. 4 Reg 19. Ambulavit Elyas in fortitudine cibis. Ez 1: Non revertebantur cum ambularent.

Septimo decor iustitie ut unicuique quod debitum est faciat. Osee 14: Recte vie Domini iusti ambulant in eis. Mal 2: In pace et equitate ambulavit. Etc. Prov 8: In viis iustitie ambulant.

Quidam ambulant secundum carnem. Eph 3. Multi ambulant de quibus dicebam vobis et adhuc flens dico inimicos crucis. 1 Cor 3.[9]: Cum inter vos sit zelus et contentio, nonne carnales estis et secundum carnem ambulatis? Gal 6: Si spiritu vivimus, spiritu et ambulemus. Ad lumen eius ambulabam in tenebris. Iob 29. Lumen appellat ipsam veritatem, tenebras concupiscientiarum perplexitatem. Domine, in lumine vultus tui ambulabunt. Ps. 88. Iustitia ante eum ambulabit. Ps. 84.[10].